A Unified Algebraic Framework for Classical Geometry.doc

Original link: http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html

Một thể thống nhất toán đại số cho hình học cổ điển

David Hestenes, Hongbo Li & Alyn Rockwood. Trong: G. Sommer (ed.), Điện toán hình học với Clifford Algebra, © Springer-Verlag: Heidelberg (2000).

Hình học cổ điển đã xuất hiện từ những nỗ lực cho hệ thống hóa nhận thức về không gian và chuyển động. Có nguồn gốc từ thời cổ đại, thời kỳ nở rộ cực đại của hình học cổ điển là vào thế kỷ 19, khi Euclide, phi Euclide và các dự án hình học đã đưa ra công thức toán học chính xác và các tính chất phong phú của các đối tượng hình học được khám phá. Mặc dù ý tưởng cơ bản của hình học cổ điển được gắn liền vĩnh viễn và áp dụng rộng rãi trong toán học và vật lý, các đối tượng chính đó đã biến mất trong các chương trình giảng dạy toán học hiện nay. Nhiều kết quả của nó đã được đưa vào bảo tàng hiếm được đến thăm của lịch sử toán học, một phần, bởi vì chúng được thể hiện bằng ngôn ngữ phân tán và phức tạp. Để làm cho chúng dễ tiếp cận và hữu ích, chúng cần phải được xem xét lại và tích hợp vào một hệ thống toán học chặt chẽ. Hình học cổ điển đã trở lại gần đây bởi vì nó rất hữu ích trong các lĩnh vực như: Thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính (CAGD), CAD / CAM, đồ họa máy tính, ảnh vi tính và robot. Trong tất cả các lĩnh vực này có một chi phí về hiệu quả tính toán trong việc thiết kế và thao tác các đối tượng hình học. Mục đích của chúng tôi ở đây là để giới thiệu các công cụ toán học mới mạnh mẽ để đạt được mục tiêu đó và phát triển những hiểu biết mới trong khuôn khổ thống nhất đại số. Trong này và các chương sau đó chúng ta sẽ thấy được cách chương hình học cổ điển gọn gàng và phù hợp với các hệ thống toán học rộng lớn hơn của hình học đại số (GA) và phần mở rộng của nó đến hình học Calculus đầy đủ (GC) trong đó bao gồm các hình thức khác biệt và nhiều hơn nữa.

Trong bốn thập kỷ qua GC đã được phát triển như là một ngôn ngữ hình học phổ thông đối với toán học và vật lý. Đây có thể được coi là thành quả của chương trình R & D khởi đầu bởi Hermann Grassmann năm 1844 [G44, H96]. Ở đây, chúng tôi rút ra nguồn phong phú các khái niệm, công cụ và phương pháp để làm phong phú thêm hình học cổ điển bằng cách tích hợp nó đầy đủ hơn vào toàn bộ hệ thống.

Chương này cung cấp một bản tóm tắt của các công cụ cơ bản trong hình học đại số để thiết lập giai đoạn chi tiết hơn và các ứng dụng trong các chương sau. Để thực hiện các tóm tắt nhỏ gọn, phần chứng minh sẽ bị bỏ qua. Giải thích hình học sẽ được nhấn mạnh, vì nó là điều cần thiết cho ứng dụng thực tiễn.

Trong hình học cổ điển các yếu tố nguyên thủy là điểm, và các đối tượng hình học là tập hợp điểm với các đặc tính. Các thuộc tính này có hai loại chính: cơ cấu và chuyển đổi. Đối tượng đặc trưng bởi các mối quan hệ cấu trúc và so sánh bằng phép biến đổi. Trong chương trình Erlanger, Felix Klein [K08] phân loại hình học của các phép biến đổi được sử dụng để so sánh các đối tượng (ví dụ, tương đương, phép xạ ảnh, mối quan hệ, vv). Hình học đại số cung cấp một khuôn khổ đại số thống nhất cho cả hai loại đặc tính và bất kỳ loại hình học nào.

Các mô hình đại số tiêu chuẩn cho không gian Euclide E^nn-chiều vector không gian thực R^n hoặc tương đương một tập hợp các tọa độ thực. Một rắc rối với mô hình này là,theo tính chất đại số, nguồn gốc là một yếu tố phân biệt, trong khi tất cả các điểm của E^n  giống hệt nhau. Sự thiếu chính xác trong mô hình vector không gian này đã được chỉnh sửa vào đầu thế kỷ thứ 19 bằng cách loại bỏ nguồn gốc từ mặt phảng và đặt nó một chiều không gian khác cao hơn. Một cách chính thức, điều này đã được thực hiện bằng cách giới thiệu tọa độ đồng nhất [H91]. Các mô hình vector không gian cũng thiếu các miêu tả đầy đủ cho các điểm Euclide hoặc những đường thẳng dài vô cùng. Chúng tôi giải quyết cả hai vấn đề này với một mô hình mới cho phép E^n sử dụng các công cụ của đại số hình học. Chúng tôi gọi đó là các mô hình thuần nhất của E^n.

“Mô hình mới” của chúng tôi có nguồn gốc trong nghiên cứu của FA Wachter (1792-1817), một học sinh của Gauss. Ông cho thấy rằng một loại nhất định của mặt phẳng trong hình học hyperbolic được biết đến như một mặt cực hạn là đơn vị chiều dài mét tương đương với trong không gian Euclide, vì vậy nó tạo thành một mô hình phi-Euclide của hình học Euclide. Nếu không có kiến thức về mô hình này, các kỹ thuật bảo giác và chia tách hình chiếu rất cần thiết để kết hợp nó vào hình học đại số đã được phát triển bởi Hestenes trong [H91]. Sự chia bảo giác được phát triển để chuyển thành phương trình tuyến tính các nhóm bảo giác và đơn giản hóa việc kết nối với mô tả xoắn của nó. Sự chia hình chiếu đã được phát triển để kết hợp tất cả những ưu điểm của tọa độ đồng nhất trong một điểm đại diện “phối hợp-tự do” của hình học của vectơ.

Andreas Dress và Timothy Havel [DH93] đã công nhận mối quan hệ của việc chia bảo giác cho mô hình Wachter cũng như cho cách làm cổ điển với hình học khoảng cách thực hiện bởi Menger [M31], Blumenthal [B53, 61] và Seidel [S52, 55]. Họ cũng nhấn mạnh kết nối của các lý thuyết cổ điển bất biến, cái mà những điều cơ bản đã được đưa vào hình học đại số trong [HZ91] và [HS84]. Các công việc hiện tại, tổng hợp tất cả những phát triển và tích hợp bảo giác và chia tách hình chiếu thành một hình thức đại số mạnh mẽ cho các mô tả và thao tác các khái niệm hình học. Chúng tôi chứng minh sức mạnh này trong việc xây dựng rõ ràng của mô hình thuần nhất của E^n mới, đặc điểm của các đối tượng hình học trong đó và trong các chứng minh định lý hình học.

Điều thực sự mới về mô hình của chúng tôi là chủ nghĩa hình thức trong toán học, trong đó chúng được tham gia vào. Điều này kết hợp sự biểu hiện đơn giản của hình học tổng hợp với khả năng tính toán của hình học giải tích. Như trong hình học tổng hợp chúng tôi chỉ ra các điểm bằng các chữ cái a, b,… nhưng chúng tôi cũng cung cấp cho chúng tính chất đại số. Vì vậy, các kết quả bên ngoài là a \chèn b đại diện cho đường thẳng xác định bởi ab. Khái niệm này được phát minh bởi Hermann Grassmann [G1844] và áp dụng cho hình học hình chiếu, nhưng nó được tích hợp vào đại số hình học chỉ gần đây [HZ91]. Cho đến ngày nay, tuy nhiên, nó đã không được sử dụng trong hình học Euclide, do một khiếm khuyết rất nhỏ mà được điều chỉnh bằng mô hình thuần nhất của chúng tôi. Chúng tôi thấy rằng trong mô hình của chúng tôi a \ chèn b \chèn c đại diện cho đường tròn qua ba điểm. Nếu một trong những điểm này là vector rỗng e đại diện cho các điểm ở vô cực, sau đó a \chèn b \chèn e đại diện cho các đường thẳng qua ab là một đường tròn qua vô cùng. Miêu tả này không có sẵn đối với Grassmann, bởi vì ông không có khái niệm về vector rỗng.

Mô hình của chúng ta cũng giải quyết một vấn đề khác mà Grassmann lúng túng trong suốt cuộc đời của mình. Ông cuối cùng đã buộc phải kết luận rằng là không thể xác định kết quả có nghĩa trong hình học giữa các điểm. Các giải pháp đã lẫn tránh ông vì nó đòi hỏi các khái niệm về số liệu không xác định đi kèm với các khái niệm về vector rỗng. Mô hình của chúng tôi cung cấp kết quả bên trong a \cdot b trực tiếp đại diện cho khoảng cách Euclide giữa các điểm. Đây là một lợi ích cho khoảng cách hình học, vì nó tạo thuận lợi lớn tính toán khoảng cách giữa nhiều điểm. Havel [H98] đã sử dụng điều này trong các ứng dụng của đại số hình học cho lý thuyết về cấu trúc hình dạng phân tử. Công việc hiện nay cung cấp một khuôn khổ cho việc thúc đẩy đáng kể các ứng dụng như vậy.

Chúng tôi tin rằng mô hình đồng nhất của chúng tôi đã cung cấp khung lý tưởng đầu tiên cho hình học tính toán Euclide. Các khái niệm và định lý hình học tổng hợp có thể được dịch sang hình thức đại số mà không có sự phức tạp không cần thiết của tọa độ hoặc ma trận. Việc xây dựng và chứng minh có thể được thực hiện bằng cách tính toán trực tiếp, khi cần thiết cho các ứng dụng thực tế trong thị giác máy tính và các lĩnh vực tương tự. Các biểu thị xoắn ốc của biến đổi bảo giác tạo đều kiện thuận lợi rất nhiều cho các thành phần và ứng dụng của nó. Chúng tôi mong muốn phát triển các vấn đề cơ bản và các ví dụ đầy đủ chi tiết để làm cho các ứng dụng trong hình học Euclide khá đơn giản. Như là một điểm khởi đầu, chúng ta nên quen với các ký hiệu và các kết quả của Chương 1.

Chúng tôi đã giới hạn phân tích của mình cho hình học Euclide, bởi vì nó có khả năng ứng dụng rộng rãi nhất. Tuy nhiên, khung đại số và khái niệm áp dụng cho hình học của bất kỳ dấu hiệu nào. Đặc biệt, nó được áp dụng cho mô hình được mô hình hóa không gian, nhưng đó là một vấn đề cho một thời điểm khác.

Các nghiên cứu ghi nhận ngày trở lại của mặt cầu vào thế kỷ đầu tiên trong cuốn Sphaerica của Menelaus. Lượng giác cầu được phát triển hoàn toàn trong hình thức hiện đại của Euler trong bài báo năm 1782 của ông [E1782]. Hình học hình cầu trong n-chiều lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Schläfli trong bài luận năm 1852 của ông, được xuất bản sau khi ông mất trong [S1901]. Sự chuyển biến quan trọng nhất trong hình học hình cầu là việc chuyển đổi Mobius, được coi là của Mobius trong bài báo năm 1855 của ông [M1855]. Hamilton là người đầu tiên áp dụng vectơ để lượng giác hình cầu. Năm 1987 Hestenes [H98] xây dựng một lượng giác cầu về hình học đại số, và vẫn còn là một bổ sung hữu ích cho việc tính toán hiện nay. Chương này là một sự tiếp nối của chương trước. Ở đây chúng ta xem xét các mô hình thuần nhất của không gian hình cầu, cái mà cũng tương tự như của không gian Euclide. Chúng tôi thiết lập hình học bảo giác của không gian hình cầu trong mô hình này và thảo luận về một số biến đổi bảo giác điển hình.

Mặc dù nó cũng được biết rằng các nhóm bảo giác của Euclide và hình cầu không gian n-chiều là cùng kích thước với nhau, và tất cả đều bằng với nhóm của hyperbol đẳng cự (n + 1) -space [K1872], [K1873] bảo giác hình học hình cầu có phép biến đổi bảo giác độc đáo của nó, và nó có thể cung cấp sự hiểu biết tốt cho hình học bảo giác hyperbolic. Nó là một phần không thể thiếu của sự thống nhất của tất cả các mô hình hình học bảo giác trong mô hình đồng nhất, được đề cập trong các chương tiếp theo.

Các nghiên cứu về mối quan hệ giữa hình học Euclide, hình cầu và hyperbolic đã trở lại vào đầu thế kỷ trước. Các nỗ lực để chứng minh định lý thứ năm của Euclid đã dẫn CF Gauss khám phá ra hình học hyperbolic trong năm 1820. Chỉ một vài năm trôi qua trước khi hình học được tái phát hiện một cách độc lập bởi N. Lobachevski (1829) và J. Bolyai (1832). Các bằng chứng mạnh mẽ nhất được đưa ra bởi những người sáng lập cho tính nhất quán của nó là tính nhị nguyên giữa lượng giác hyperbolic và hình cầu. Nhị nguyên này lần đầu tiên được chứng minh bởi Lambert trong hồi ký của ông vào năm 1770 [L1770]. Một số định lý, ví dụ như các định lí sin, có thể được thể hiện trong một hình thức đó là hợp lệ trong hình cầu, Euclide và hình học hyperbolic [B1832]. Để chứng minh sự thống nhất của hình học hyperbolic, người xây dựng mô hình phân tích khác nhau của hình học hyperbolic trên mặt phẳng Euclide. E. Beltrami [B1868] xây dựng một mô hình Euclide của mặt phẳng hyperbolic, và sử dụng hình học vi phân, cho thấy mô hình của ông đáp ứng tất cả các tiên đề của hình học phẳng hyperbolic. Năm 1871, F. Klein đã đưa ra một cách giải thích của mô hình Beltrami của về hình học hình chiếu. Bởi vì việc giải thích của Klein, mô hình Beltrami của sau này được gọi là mô hình đĩa Klein của mặt phẳng hyperbolic. Tổng quát của mô hình không gian hyperbolic n-chiều này ngày nay được gọi là mô hình quả bóng Klein [CFK98].

Trong cùng bài báo Beltrami xây dựng hai mô hình Euclide khác của mặt phẳng hyperbolic, một cái trên một đĩa và cái khác trên một nửa mặt phẳng Euclide. Cả hai mô hình này đều sau đó khái quát hóa cho n-chiều của H. Poincare [P08], và bây giờ nó được mang tên của ông.

Tất cả ba mô hình trên được xây dựng trong không gian Euclide, và sau đây là hai bảo giác trong ý nghĩa số liệu là một sự phân chia tỷ lệ điểm-đến-điểm của các số liệu Euclide. Trong bài báo năm 1878 của ông [K 1878], Killing mô tả một mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic bằng cách xây dựng các phép chiếu lập thể của mô hình đĩa của Beltrami vào không gian hyperbolic. Mô hình hyperboloid này đã được khái quát hóa cho n-chiều bởi Poincare.

Còn có một mô hình của hình học hyperbolic được xây dựng trong không gian hình cầu, được gọi là mô hình bán cầu, cũng là bảo giác. Tổng cộng có năm mô hình nổi tiếng với các hình học hyperbolic n chiều:

  • các mô hình bán không gian,
  • các mô hình hình cầu bảo giác,
  • các mô hình hình cầu Klein,
  • các mô hình bán cầu,
  • các mô hình hyperboloid.

Các lý thuyết về hình học hyperbolic có thể được xây dựng một cách thống nhất trong bất kỳ các mô hình nào. Với một số mô hình, có thể nói, xoay các đối tượng xung quanh và xem xét kỹ lưỡng từ những quan điểm khác nhau. Mối liên kết giữa các mô hình này phần lớn được thành lập thông qua hình chiếu lập thể. Bởi vì hình chiếu lập thể là bản đồ bảo giác, các nhóm bảo giác của n-chiều Euclid, hình cầu, và không gian hyperbolic là có cùng kích thước với nhau, và tất cả đều có cùng kích thước nhóm cùng loại của hyperbol (n + 1) -space, theo quan sát của Klein [K 1872], [K 1872]. Dường như mọi thứ đang làm việc để có được sự thống nhất của ba không gian. Trong chương này, chúng ta đi xa hơn. Chúng tôi thống nhất ba dạng hình học, cùng với những hình chiếu lập thể, các mô hình khác nhau của hình học hyperbolic, trong cách như vậy mà chúng ta chỉ cần một không gian Minkowski, nơi mà vectơ rỗng đại diện cho điểm hoặc điểm ở vô cực trong bất kỳ của ba dạng hình học và bất kỳ của các mô hình không gian hyperbolic, nơi không gian phụ Minkowski đại diện cho các khối cầu và siêu phẳng trong bất kỳ của ba dạng hình học, và là nơi hình chiếu lập thể chỉ đơn giản là sự thay đổi tỷ lệ của vectơ không. Chúng tôi kêu gọi cấu trúc này là mô hình đồng nhất. Nó phục vụ như là một mô hình phân tích thứ sáu cho hình học hyperbolic.

Chúng tôi xây dựng mô hình đồng nhất cho Euclide và hình học hình cầu trong chương trước. Có các mô hình được xây dựng trong không gian Minkowski do chia tách hình chiếu đối với một vector cố định hay ký số phủ định. Ở đây chúng ta thấy sự chia cắt hình chiếu đối với một vector cố định ký số tích cực cho ra các mô hình thuần nhất của hình học hyperbolic.

Bởi vì ba dạng hình học có được bằng cách giải thích vectơ rỗng cùng một không gian Minkowski khác nhau, quan hệ tự nhiên tồn tại giữa các thực thể hình học và hạn chế của các loại hình học này. Đặc biệt, có sự tương ứng giữa các định lý về tính bảo giác của ba loại hình học. Mỗi đồng nhất thức đại số có thể được giải thích theo ba cách và do đó đại diện cho ba định lý. Trong phần cuối cùng chúng tôi minh họa tính năng này với một ví dụ.

Các mô hình thuần nhất có lợi thế đáng kể của việc đơn giản hóa các tính toán hình học, bởi vì nó sử dụng các ngôn ngữ mạnh mẽ của hình học đại số. Hình học đại số đã được áp dụng cho hình học hyperbolic của H. Li trong [L97],  lấy cảm hứng từ cuốn sách của Iversen [I92] về việc giải toán đại số của hình học hyperbolic và trang sách của Hestenes và Ziegler [HZ91] về hình học hình chiếu với hình học đại số.

  1. Hestenes, trong E. Bayro-Corrochano và G. Scheuermann (eds.), Hình học đại số kỹ thuật máy tính và Khoa học Máy tính. (London: Springer Verlag, 2009).

Bảo giác hình học đại số (CGA) cung cấp các công cụ toán học lý tưởng cho việc xây dựng, phân tích và tích hợp giữa cổ điển Euclide, hình học bất biến và hình chiếu hình học, với các ứng dụng thiết thực đối với khoa học máy tính, kỹ thuật và vật lý. Bài viết này là một giới thiệu toàn diện cho bộ công cụ CGA. Báo cáo tổng hợp trong hình học cổ điển dịch trực tiếp để phối hợp miễn hình thức đại số. Phương pháp bất biến và hiệp biến được phối hợp bởi các phần chia nhỏ bảo giác, thấy dễ dàng được liên quan đến văn học sử dụng phương pháp ma trận đại số, lý thuyết song quatenion và trụ cột. Thiết kế một hệ thống hoàn chỉnh các công cụ mạnh mẽ cho các cơ cấu của liên kết cấu trúc vững chắc được mô tả.

Advertisements